不妨看这样一个矩阵表达的方程： $Ax = b, \quad A = (a_1, \dots, a_n) \quad (n\text{个列向量})$

关于 $Ax$ 的几何意义： 左边 $Ax$ 将 $x = (x_1, \dots, x_n)^T$ 视为系数向量。那么 $Ax$ 显然可以看做 $A$ 的列向量张成的子空间。

不妨令 $f(x) = Ax$，显然 $Ax$ 又是这个矩阵 $A$ 作为算子的函数的值域，记为 $R(A)$。综上，$R(A)$ 也是 $A$ 的列向量张成的子空间。 同理，$R(A^H)$ 就是 $A$ 的行向量张成的子空间。

关于线性相关与零空间： 若 $A$ 的列向量线性无关，那么系数除非均为 0，否则 $Ax \neq 0$。 反之则有 $Ax = 0$。此时的系数 $x$ 构成的向量为 0 向量，但可以让 $A$ 的列向量的线性组合为 0。自由度恰好是有几个线性相关的向量。

列向量构成矩阵，就有对应的行向量与零空间向量点积恒为 0（即 $Ax=0$），这意味着行向量张成的空间又与 $R(A^H)$ 恰好对应，相互限制。

最终结论：

又因为 $R(A^H) = R(A) = r$（行秩等于列秩），上面这些自然的结论构成了四大基本子空间定理。